Số tự nhiên – Wikipedia tiếng Việt

Số tự nhiên – Wikipedia tiếng Việt

sửa mã nguồn]

người ta cho rằng số tự nhiên bắt nguồn từ các từ dùng để đếm sự vật, và bắt đầu bằng số một.

một bước tiến quan trọng đầu tiên là con người bắt đầu biết trừu tượng hóa việc biểu diễn các số bằng các chữ số. Điều này đã cho phép con người phát triển các hệ thống nhằm ghi lại các số lớn. ví dụ, người babylon phát triển một hệ thống giá trị theo vị trí rất hữu dụng mà chủ yếu dựa trên biểu diễn số ban đầu cho 1 và 10. người ai cập cổ đại có một hệ thống chữ số với các chữ tượng hình để diễn tả 1, 10, và tất cả các lũy thừa của 10 cho đến một triệu. một mẫu đá khắc thu được từ karnak, xác định niên đại khoảng 1500 tcn, và hiện nay đang được lưu trữ tại viện bảo tàng louvre ở paris, thể hiện số 276 như là 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; và cũng thể hiện tương tự với số 4 622.

một tiến bộ nữa trong việc trừu tượng hóa con số nhưng diễn ra trễ hơn nhiều: phát triển ý tưởng thể hiện số không như là một con số với biểu diễn số của riêng nó. vào khoảng 700 tcn, những người babylon đã dùng chữ số không trong hệ thống ký hiệu giá trị theo vị trí nhưng một điều khá lạ là mãi cho đến lúc nền văn hóa babylon đến hồi suy tàn, người babylon cũng chỉ biết dùng chữ số không ở giữa các con số (ví dụ: khi viết số 3605 họ biết đặt chữ số không vào giữa), và chữ số này vẫn chưa bao giờ được sử dụng để làm chữ số cuối cùng của một số[4] (ví dụ: người babylon thể hiện số 3600 và 60 như nhau – người babylon dùng hệ cơ số 60 – để phân biệt đâu là 3600 và 60 họ phải kèm thêm một chú thích bằng lời ở dưới[5]). các nền văn minh olmec và maya đã dùng số không như là một con số riêng từ khoảng thế kỷ thứ 1 trước công nguyên (dường như được phát triển một cách độc lập), tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến ra ngoài vùng trung mỹ. khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng xuất phát từ nhà toán học Ấn Độ brahmagupta vào năm 628. mặc dầu số không đã được dùng như một con số bởi tất cả các nhà tính toán thời trung cổ (dùng để tính ngày phục sinh) mà khởi đầu là dionysius exiguus vào năm 525, nhưng nhìn chung vẫn không có một chữ số la mã nào được dành riêng để viết số không. thay vì vậy, thời đó người ta dùng từ latinh là nullae, có nghĩa là”không có gì”để chỉ số không.

người ta thường xem các nhà triết học hy lạp pythagore và archimedes là những người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu một cách hệ thống về các con số như là một thực thể trừu tượng. tuy nhiên, cùng thời kỳ đó, một số nơi như Ấn Độ, trung quốc và trung mỹ cũng có những nghiên cứu độc lập tương tự.

Xem nhiều hơn: “Thông số kỹ thuật” trong tiếng Anh: Định nghĩa, ví dụ

Đến thế kỷ 19, một định nghĩa mang tính lý thuyết tập hợp của số tự nhiên đã xuất hiện và phát triển. với kiểu định nghĩa như vậy, việc gộp cả số không (ứng với tập rỗng) vào trong số tự nhiên đã trở nên thuận tiện hơn. Ưu điểm này được các nhà lý thuyết tập hợp, nhà luận lý học và nhà khoa học máy tính sử dụng về sau. các nhà toán học khác, chủ yếu là các nhà lý thuyết số, lại thích dùng định nghĩa
cổ đại hơn và không gộp số không vào trong số tự nhiên.

giáo sư toán học của Đại học quốc gia singapore lam lay yong thì cho rằng người trung quốc biết đến sử dụng con số để đếm từ khoảng năm 475 tcn thông qua phát hiện việc sử dụng các bó que để làm phép tính thời kỳ này[6].

ký hiệu[sửa /dd>

tạo ra

  • 0 =
  • 1 = , 0 = ,
  • 2 = , 0, 1,…

có thể vẫn còn tranh cãi, nhưng nhìn chung người ta thường gán định nghĩa có tính lý thuyết tập hợp xưa nhất về số tự nhiên cho frege và russell. trong định nghĩa của hai người này thì mỗi số tự nhiên n cụ thể được định nghĩa là tập hợp của tất cả các tập có n phần tử.

frege và rusell bắt đầu bằng cách định nghĩa 0 là (rõ ràng đây là tập của tất cả các tập có 0 phần tử) và định nghĩa (với a là một tập bất kỳ) là . như vậy 0 sẽ là tập của tất cả các tập có 0 phần tử, sẽ là tập của tất cả các tập có một phần tử, sẽ là tập của tất cả các tập có 2 phần tử, và cứ thế. sau đó, tập hợp của tất cả các số tự nhiên được định nghĩa như là phần giao của tất cả các tập có chứa 0 và là tập đóng với phép (tức là nếu tập này chứa phần tử n) thì nó cũng phải chứa ).

Định nghĩa này sẽ không dùng được trong những hệ thống thông thường của lý thuyết tập hợp tiên đề vì những tập được tạo ra như vậy quá lớn (nó sẽ không dùng được trong bất kỳ lý thuyết tập hợp nào với tiên đề tách – separation axiom); nhưng định nghĩa này sẽ làm việc được trong cơ sở mới (new foundations) (và trong các hệ thống tương thích với cơ sở mới) và trong một vài hệ thống của lý thuyết kiểu.

Xem nhiều hơn: Picity High Park – Căn hộ cao cấp quận 12 – Chủ đầu tư Pigroup

trong phần còn lại của bài này, chúng ta sử dụng phép xây dựng chuẩn đã mô tả ở trên.

các phép toán trên tập hợp số tự nhiên[sửa | sửa mã nguồn]

các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên có thể định nghĩa nhờ phép đệ quy như sau

phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

  1. a + 0 = a
  2. a + s(b) = s(a + b)
phép cộng này khiến (ℕ, +) trở thành một vị nhóm giao hoán với phần tử trung lập là 0, cũng là một vị nhóm tự do với một hệ sinh nào đó. vị nhóm thỏa tính chất khử và do đó có thể được nhúng trong một nhóm. nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên là số nguyên.

nếu chúng ta ký hiệu s(0) là 1, khi đó b + 1 = b + s(0) = s(b + 0) = s(b); tức là, số liền sau của b chẳng qua là b + 1.

phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

tương tự như phép cộng, chúng ta định nghĩa phép nhân × như sau

  1. a × 0 = 0
  2. a × s(b) = (a × b) + a
phép nhân được định nghĩa như vậy khiến (n,×) trở thành một vị nhóm với phần tử trung lập là 1; một hệ sinh của vị nhóm này chính là tập hợp các số nguyên tố.
phép cộng và phép nhân thỏa tính chất phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
các tính chất mà phép cộng và phép nhân thỏa khiến tập số tự nhiên trở thành một trường hợp ví dụ của nửa vành giao hoán. nửa vành là dạng tổng quát hóa đại số của số tự nhiên mà trong đó phép nhân không cần phải thỏa tính giao hoán.

nếu chúng ta hiểu tập hợp số tự nhiên theo nghĩa”không có số 0″và”bắt đầu bằng số 1″thì các định nghĩa về phép + và × cũng vẫn thế, ngoại trừ sửa lại a + 1 = s(a)a × 1 = a.

trong phần còn lại của bài này, chúng ta viết ab để ám chỉ tích a × b, và chúng ta cũng sẽ thừa nhận quy định về thứ tự thực hiện các phép toán.

quan hệ thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

chúng ta có thể định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập số tự nhiên như sau:

với hai số tự nhiên a,b, ta có ab nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên c sao cho a + c = b. kiểu sắp thứ tự này cùng với các phép toán số học đã định nghĩa ở trên cho ta:
nếu a, bc là các số tự nhiên và ab, thì a + cb + cacbc
tập số tự nhiên còn có một tính chất quan trọng nữa là chúng là tập sắp tốt: mọi tập không rỗng của các số tự nhiên phải có một phần tử nhỏ nhất.

phép chia có dư và tính chia hết[sửa | sửa mã nguồn]

cho hai số tự nhiên a, bb ≠ 0. xét tập hợp m các số tự nhiên p sao cho pb ≤ a. tập này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần tử lớn nhất của mq. khi đó bq ≤ ab(q + 1) > a. Đặt r = abq. khi đó ta có

a = bq + r, trong đó 0 ≤ r < b.

có thể chứng minh rằng các số qr là duy nhất. số q được gọi là thương hụt (hay vắn tắt là thương), số r được gọi là số dư khi chia a cho b. nếu r = 0 thì a = bq. khi đó ta nói rằng a chia hết cho b hay b là ước của a, a là bội của b.

tổng quát hóa[sửa | sửa mã nguồn]

với hai hướng sử dụng như đã nêu ở phần giới thiệu, số tự nhiên trước hết được tổng quát hóa theo hai hướng sử dụng này: số thứ tự được dùng để mô tả vị trí của một phần tử trong một dãy sắp thứ tự và bản số dùng để xác định kích thước của một tập hợp nào đó.

trong trường hợp dãy hữu hạn hay tập hợp hữu hạn, cả hai cách sử dụng này thực chất là đồng nhất với nhau.

các tập hợp số[sửa | sửa mã nguồn]

: tập hợp số tự nhiên
: tập hợp số nguyên
: tập hợp số hữu tỉ
= : tập hợp số vô tỉ
: tập hợp số thực

ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ “iso 80000-2:2009”. international organization for standardization.
  2. ^ a b toán lớp 6 tập 1 – nhà xuất bản giáo dục 2004
  3. ^ number systems and the foundations of analysis nói:”the whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers.”(preface, p. x)
  4. ^ … một tấm khắc tìm thấy ở kish… vào khoảng năm 700 tcn, dùng ba dấu móc để ký hiệu một vị trí trống trong hệ thống ký hiệu có giá trị theo vị trí. một số tấm khắc khác cũng được tạo ra cùng thời gian dùng một dấu móc để ký hiệu một vị trí trống. [1]
  5. ^ g.n. becman. số và khoa học về số (tiếng nga)-bản dịch tiếng việt của nguyễn hữu trương và thế trường. nhà xuất bản giáo dục 2003, trang 29
  6. ^ người trung quốc phát minh ra con số 1.000 năm trước bất kỳ cộng đồng nào khác trên thế giới

liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • số tự nhiên tại mathworld.

Nguồn gốc: https://danhgiaaz.com
danh mục: Hỏi đáp

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *